Construction d'un modèle de substitution simplifié d'un tenseur de données

Les ingénieurs et praticiens ont souvent à faire à des problèmes multivariés. C'est notamment cas lorsque la quantité d'intérêt (dénotée "QoI") observée ou mesurée dépend de plusieurs variables ou paramètres "x1,x2,...xn" ("n" potentiellement élevé). Ceci est fréquemment rencontré en pratique lorsque les mesures effectuées sur le système, le logiciel ou l'expérience, dépendent de paramètres (e.g. la forme géométrique, la température, le type de matériaux, le choix de paramétrisation, etc.) Dans ce cas, il est courant de mesurer la "QoI" pour différentes combinaisons de paramètres. Ce qui en résulte est un tenseurs de données (ou tableau n-dimension), qui sont une généralisation des vecteur 1-dimension ou tableau 2-dimension.

La construction du tenseur permet de connaître son système en un nombre fini de points. Toutefois, à des fins d'optimisation, de simulation ou de compréhension des phénomènes, disposer d'un modèle de substitution est un avantage précieux.

La suite MDS peut être utilisée pour approcher ces tenseurs par un modèle précis, interprétable et de complexité maîtrisée. Ce dernier peut ensuite être utilisé pour connaître la "QoI" pour d'autre configurations.

Un tel modèle de substitution peut être utilisé pour partager auprès de partenaires, le comportement d'un logiciel ou d'un systèmes "confidentiel".

La figure ci-dessous présente les performances en terme de temps de calcul, en fonction de la taille sur le disque du tenseur original, pour différentes méthodes d'appximation (MLP, KAN, AAA), montrant la supériorité et la potientialité de mise à l'échelle des méthodes de la suite MDS [arXiv].

[arXiv] A.C. Antoulas, I-V. Gosea, C. Poussot-Vassal and P. Vuillemin, "Tensor-based multivariate function approximation: methods benchmarking and comparison".

Construction d'un modèle simplifié d'un simulateur de guide d'onde

Les constructeurs d'antennes, de câbles et de manière générale, de systèmes électroniques sont souvent confrontés à des phénomènes électro-magnétiques gouvernés par des équations complexes, notamment de celles de Maxwell. Lors des phases de pré-design, afin de simuler ces phénomènes, des logiciels experts sont souvent utilisés. Ces derniers permettent la simulation de champs magnétiques, d'antennes, de propagation, de signature radar, etc. En pratique, et à des fins d'analyse, d'optimisation et de compréhension, il est souvent nécessaire de modifier les paramètres de ces systèmes: la forme géométrique, le type de matériaux, etc.

Toutefois, chaque changement de configuration ou de signal exogène requiert de rejouer la simulation, dont le coût de calcul extrêmement élevé limite sont utilisation intensive (par exemple dans un processus d'optimisation).

La suite MDS peut être utilisée pour approcher ces simulateurs avec un modèle dynamique plus simple. Ce dernier peut ensuite être utilisé par les ingénieurs pour rejouer des conditions différentes, optimiser des paramètres, etc.

La figure ci-dessous présente le résultat d'une simulation d'un guide d'onde composé de trois zones à permitivité différentes, en réponse à une onde électrique injectée sur la gauche. La figure compare les champs magnétique (H, haut) et électriques (E, bas) de la simulation issue du simulateur expert (obtenue en 10 minutes) et du modèle réduit (obtenue en 1 seconde) [COMPEL].

[COMPEL] M. Gouzien, C. Poussot-Vassal, G. Haine and D. Matignon, "Port-Hamiltonian reduced order modelling of the 2D Maxwell equations", in journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering (COMPEL).

Réduction de modèle issus de la mécanique des fluides

Pour la simulation intensive, l'optimisation et de contrôle des phénomènes fluidiques, il peut être intéressant de discrétiser et linéariser les équations aux dérivées partielles décrivant l'évolution des structures ou l'impact de géométries soumises à des écoulements fluidiques.

Cette discrétisation peut alors mener à un grand nombre d'équations aux dérivées ordinaires (allant jusqu'à plusieurs millions d'états), qu'il est alors complexe à traiter et à stocker. Dès lors, la suite MDS peut être utilisée pour approximer ce modèle d'état par un modèle plus simple et tout aussi précis.

En effet, à partir d'un ensemble d'équations d'état de très grande dimension, la suite MDS permet de générer des modèles réduits dont le comportement entrées/sorties reste très fidèle, sans même avoir besoin de simuler le système au préalable.

Pour un modèle de plusieurs centaines de milliers d'états, l'approximation est obtenue en seulement quelques minutes, sur un ordinateur de bureau standard. Cette approximation a permis aux chercheurs et ingénieurs de réaliser plusieurs tâches comme l'optimisation de lois de contrôle, l'analyse de stabilité et de réponses temporelles [IFAC LPVS].

[IFAC LPVS] C. Poussot-Vassal and D. Sipp, "Parametric reduced order dynamical model construction of a fluid flow control problem", in Proceedings of the Workshop on Linear Parameter Varying Systems (LPVS), Grenoble, France, October, 2015, pp. 133-138.

Réduction modèle d'avion civil sur une bande de fréquence limitée, en vue de contrôle de vibration

Les modèles dynamiques d'avions civils construits par les ingénieurs experts en aéro-élasticité et structure, sont ensuite utilisés pour différents objectifs, comme la simulation (à des rafales, charges, vibrations, pannes...), l'analyse (de performances, d'émission de NOx...) ou le contrôle (de la dynamique du vol, de charges, de vibrations...).

Dans certains cas, comme la synthèse ou la simulation des lois de contrôle de vibrations, il est important de restituer le comportement de l'avion dans la bande de fréquence où les perturbations se manifestent (dans ce cas, en basses et moyennes fréquences). Reproduire le comportement en dehors de la zone d'intérêt n'a pas d'utilité et serait fait au prix d'une plus grande complexité. La suite MDS permet de spécifier la zone fréquentielle d'intérêt, et de réduire précisément sur celle-ci.

A partir d'une représentation d'état de grande dimension la suite MDS permet de construire un modèle d'état de taille réduite, fidèle sur la bande fréqentielle spécifiée par l'utilisateur.

Dans le cas des modèles d'avions civils, l'approximation est obtenue en seulement quelques secondes sur un ordinateur de bureau standard. Cette approximation a permis aux chercheurs et ingénieurs experts en contrôle et en aéro-élasticité, de synthétiser des lois de contrôle de vibrations, d'analyser leur stabilité et leur robustesse [Springer].

[Springer] C. Poussot-Vassal, C. Roos, P. Vuillemin, O. Cantinaud and J-P. Lacoste, Chapter 11: "Control-oriented Aeroelastic BizJet Low-order LFT modeling", in Control-oriented modelling and identification: theory and practice, M. Lovera Eds., January, 2015, IET - Control Engineering Series 80 (Hardcover)

Construction de modèle depuis des essais vibration sol

En aéronautique, à des fins de certification, les ingénieurs d'essais réalisent de nombreux tests réels sur l'avion (au sol et en vol). Ces tests permettent de valider les modèles dynamiques théoriques, et d'enrichir leur connaissance du comportement de l'avion. Lors de ces essais, l'avion est sollicité et des mesures sont collectées.

Le plus souvent, ces tests rapportent les dynamiques de centaines de capteurs positionnés sur l'appareil. A partir des signaux (fréquentiels) de sollicitations en entrées et des mesures relevées en sorties, la suite MDS permet de construire, en seulement quelques secondes sur un ordinateur standard de bureau, un modèle exact ou approché du comportement dynamique de l'avion.

Dans le contexte d'essais vibration sol, cette approximation/construction de modèle a permis aux ingénieurs d'essais et aux experts en modélisation aéro-élastique d'obtenir en quelques secondes des modèles dynamiques fidèles aux essais, et ainsi, de valider leurs méthodologies et modèles de connaissance, ainsi que les gains apportés par des lois de contrôle. De plus, les modèles générés sont compatibles avec les outils d'analyse modale traditionnellement utilisés en aéronautique [IFASD].

[IFASD] C. Meyer, G. Broux, J. Prodigue, O. Cantinaud and C. Poussot-Vassal, "Demonstration of innovative vibration control on a Falcon Business Jet", in Proceedings of the International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics (IFASD), Como, Italy, June, 2017.

Approximation de simulateur de canal hydro-électrique

La modélisation des canaux hydro-électriques est faite par les ingénieurs spécialisés en dynamique des écoulements. Celle-ci peut être réalisée en simulation, via un logiciel dédié, qui prend en compte de nombreuses dynamiques et une multitude de phénomènes compliqués à isoler.

Ces simulateurs peuvent produire des mesures suite à une sollicitation en entrée. C'est à partir de ces signaux de sollicitation et des mesures relevées en sortie du simulateur que la suite MDS peut construire un modèle exact ou appproché du comportement dynamique du canal, même si celui-ci est décrit par des fonctions complexes et irrationnelles.

Dans le cadre des canaux hydro-électriques, cette approximation/construction de modèle a permis aux ingénieurs d'obtenir des modèles qui sont ensuite utilisables par les ingénieurs spécialisés en contrôle, dans le but d'effectuer la régulation de niveau pour la gestion de puissance électrique [ECC].

[ECC] V. Dalmas, G. Robert, C. Poussot-Vassal, I. Pontes Duff and C. Seren, "From infinite dimensional modelling to parametric reduced order approximation: Application to open-channel flow for hydroelectricity", in Proceedings of the European Control Conference (ECC), Aalborg, Denmark, July, 2016, pp. 1982-1987.

Modèle réduit non linéaire d'un simulateur de dispersion de polluants

Les simulateurs permettant de prédire la dispersion de polluants sur une zone utilisent des calculateurs puissants qui modélisent une multitude de phénomènes physiques comme la chimie, les fluides, etc. Pour chaque condition climatique, le calcul de cette dispersion dans l'atmosphère doit être réalisé via ce simulateur dont le coût numérique extrêmement élevé limite sont utilisation intensive.

La suite MDS peut être utilisée pour approcher ces simulateurs avec un modèle dynamique plus simple. Ce dernier peut ensuite être utilisé par les ingénieurs pour rejouer des conditions différentes, optimiser des estimateurs de Kamlan, etc.

Les figures ci-dessous représentent l'erreur d'approximation relative en pourcentage, entre les données initiales obtenues par le simulateur haute fidélité et deux modèles réduits obtenus avec la suite MDS (à gauche, un modèle linéaire et à droite, un modèle linéaire-quadratique). Tous deux mènent à moins de 5% d'erreur d'approximation. Là où les données initiales ont requis 7500 heures de calcul, l'obtention de modèles réduits requiert 3 heures de calcul et leur simulation, 1 seconde [arXiv].

[arXiv] C. Poussot-Vassal, T. Sabatier, C. Sarrat and P. Vuillemin, "Mixed interpolatory and inference non-intrusive reduced order modeling with application to pollutants dispersion".

Approximation de la fonction "zeta" de Riemann

La fonction "zeta" de Riemann est une fonction complexe irrationnelle dont les zéros permettent d'approcher la fonction (discrète) d'énumération des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est une élégante manière de lier la théorie des nombres à celle des fonctions complexes.

La suite MDS peut être utilisée pour approcher cette fonction "zeta" avec une fonction rationnelle, laquelle mène à une approximation fine des zéros recherchés.

De manière générale, les chercheurs et ingénieurs peuvent utiliser la suite MDS pour approcher n'importe quelle fonction complexe par une autre fonction complexe rationnelle, plus simple à interpréter et à analyser. Dans le contexte de cette fonction, les zéros trouvés ont permis de reconstruire la fonction des nombres premiers avec une précision élevée [CCS].

[CCS] C. Poussot-Vassal, I.V. Gosea, P. Vuillemin and A.C. Antoulas, "Identifying the non-trivial zeros of the Riemann zeta function for prime counting function approximation in the Loewner framework", 10th International Conference on Curves and Surfaces, Arcachon, France, June, 2022.